2019-2020年高考数学二轮复*第二篇熟练规范中档大题保高分第21练三角函数的图象与性质练*文

发布于:2021-06-11 04:02:41

2019-2020 年高考数学二轮复*第二篇熟练规范中档大题保高分第 21 练三角函数的图象与性质练*文 [明考情] 三角函数的图象和性质是高考的热点,在解答题中和解三角形综合考查或单独命题,难度一 般为中低档. [知考向] 1.三角函数的最值问题. 2.三角函数的图象及应用. 3.三角函数图象与性质的综合应用. 考点一 三角函数的最值问题 方法技巧 求解三角函数最值的常用方法 (1)有界性法:将 y=asin x+bcos x+c 化为 y= a2+b2sin (x+φ )+c.然后利用正弦函 数的有界性求解. (2)换元法:对于 y=asin2x+bsin x+c(或 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c)型的函 数最值,可设 t=sin x(或 t=sin x±cos x). (3)利用数形结合或单调性. 1.(2017·浙江)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(x∈R). (1)求 f ???23π ???的值; (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)由 sin 2π 3 = 3 2 ,cos 2π 3 1 =-2, 得 f ???2π3 ???=??? 23???2-???-12???2-2 3× 23×???-12???,所以 f ???2π3 ???=2. (2)由 cos 2x=cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x, 得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin???2x+π6 ???. 所以 f(x)的最小正周期是 π . 由正弦函数的性质得π2 +2kπ ≤2x+π6 ≤32π +2kπ ,k∈Z, 解得π6 +kπ ≤x≤23π +kπ ,k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为???π6 +kπ ,2π3 +kπ ???(k∈Z). 2.已知函数 f(x)=sin???π2 -x???sin x- 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在???π6 ,2π3 ???上的单调性. 解 (1)f(x)=sin???π2 -x???sin x- 3cos2x =cos xsin x- 23(1+cos 2x)=12sin 2x- 23cos 2x- 23=sin???2x-π3 ???- 23, 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最大值为2-2 3. (2)当 x∈???π6 ,23π ???时,0≤2x-π3 ≤π , 从而当 0≤2x-π3 ≤π2 ,即π6 ≤x≤51π2 时,f(x)单调递增; 当π2 ≤2x-π3 ≤π ,即51π2 ≤x≤23π 时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在???π6 ,51π2 ???上单调递增,在???51π2 ,23π ???上单调递减. 3.已知函数 f(x)=4cos ω xsin???ω x-π6 ???(ω >0)的最小正周期是 π . (1)求函数 f(x)在区间(0,π )上的单调递增区间; (2)求 f(x)在???π8 ,38π ???上的最大值和最小值. 解 (1)函数 f(x)=4cos ω xsin???ω x-π6 ??? =4cos ω x??? 23sin ω x-21cos ω x??? =2 3sin ω xcos ω x-2cos2ω x+1-1 = 3sin 2ω x-cos 2ω x-1=2sin???2ω x-π6 ???-1, 且 f(x)的最小正周期是22πω =π ,所以 ω =1. 从而 f(x)=2sin???2x-π6 ???-1; 令-π2 +2kπ ≤2x-π6 ≤π2 +2kπ ,k∈Z, 解得-π6 +kπ ≤x≤π3 +kπ ,k∈Z, 所以函数 f(x)在(0,π )上的单调递增区间为???0,π3 ???和???56π ,π ???. (2)当 x∈???π8 ,38π ???时,2x∈???π4 ,34π ???, 所以 2x-π6 ∈???π12,71π2 ???, 2sin???2x-π6 ???∈??? 6- 2 2,2???, 所以当 2x-π6 =1π2,即 x=π8 时,f(x)取得最小值 6- 2 2-1; 当 2x-π6 =π2 ,即 x=π3 时,f(x)取得最大值 1; 所以 f(x)在???π8 ,38π ???上的最大值和最小值分别为 1, 6- 2 2 -1. 4.是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+58a-32在闭区间???0,π2 ???上的最大值是 1?若 存在,则求出对应的 a 的值;若不存在,请说明理由. 解 y=-???cos x-12a???2+a42+58a-12. 当 0≤x≤π2 时,0≤cos x≤1,令 t=cos x,则 0≤t≤1, y=-???t-12a???2+a42+58a-12,0≤t≤1. ①当 a 0≤2≤1,即 0≤a≤2 时,则当 t=a2,即 cos x=a2时,ymax=a42+58a-12=1, 解得 a=32或 a=-4(舍去),故 a=32; a ②当2<0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时,ymax=58a-12=1, 解得 a=152, 由于 a<0,故这种情况不存在满足条件的 a 值; ③当a2>1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时,ymax=a+58a-32=1, 解得 a=1230,由于1230<2,故这种情况下不存在满足条件的 a 值. 综上可知,存在 a=32符合题意. 考点二 三角函数的图象及应用 要点重组 三角函数图象的对称问题 (1)y=Asin(ω x+φ )的对称轴为 kπ x= +π2 ω -φ (k∈Z),对称中心为??

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